天?。∵@居然是！等差數(shù)列求和公式怎么推導(dǎo)出來的-平方數(shù)列求和公式推導(dǎo)

一、等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)

1. 等差數(shù)列的定義

設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為 $a_1$,公差為 $d$,則該等差數(shù)列的任意一項(xiàng)為 $a_n$,滿足 $a_1+a_2+cdots+a_n=n$。

2. 等差數(shù)列的求和公式

設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為 $a_1$,公差為 $d$,則該等差數(shù)列的求和公式為:

$$S_n=frac{1}{2}(a_1+a_n)$$

其中,$S_n$ 表示等差數(shù)列的第 $n$ 項(xiàng)和。

3. 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為 $a_1$,公差為 $d$,則該等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為:

$$a_n=a_1+(n-1)d$$

4. 等差數(shù)列的逆通項(xiàng)公式

設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為 $a_1$,公差為 $d$,則該等差數(shù)列的逆通項(xiàng)公式為:

$$a_{n+1}=a_1-(n-1)d$$

其中,$a_{n+1}$ 表示等差數(shù)列的第 $n+1$ 項(xiàng)。

5. 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和逆通項(xiàng)公式的關(guān)系

根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式 $a_n=a_1+(n-1)d$,可以推導(dǎo)出等差數(shù)列的逆通項(xiàng)公式 $a_{n+1}=a_1-(n-1)d$;而根據(jù)等差數(shù)列的求和公式 $S_n=frac{1}{2}(a_1+a_n)$,可以推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和逆通項(xiàng)公式之間的關(guān)系為:

$$S_{n+1}=frac{1}{2}(a_1+a_{n+1}) = frac{1}{2}(a_1+a_n) - frac{1}{2}(a_1-(n-1)d)$$

$$a_{n+1}=a_1-(n-1)d$$

二、平方數(shù)列求和公式推導(dǎo)

1. 平方數(shù)列的定義

設(shè) $a_1$ 為平方數(shù)列的首項(xiàng),$a_2$ 為平方數(shù)列的公差,則該平方數(shù)列的任意一項(xiàng)為 $a_n$,滿足 $a_1^2+a_2^2+a_3^2+cdots+a_n^2=n$。

2. 平方數(shù)列的求和公式

設(shè) $a_1$ 為平方數(shù)列的首項(xiàng),$a_2$ 為平方數(shù)列的公差,則該平方數(shù)列的求和公式為:

$$S_n=frac{1}{2}(a_1^2+a_2^2+a_3^2+cdots+a_n^2)$$

其中,$S_n$ 表示平方數(shù)列的第 $n$ 項(xiàng)和。

3. 平方數(shù)列的通項(xiàng)公式

設(shè) $a_1$ 為平方數(shù)列的首項(xiàng),$a_2$ 為平方數(shù)列的公差,則該平方數(shù)列的通項(xiàng)公式為:

$$a_n=a_1+(2n-1)a_2$$

4. 平方數(shù)列的逆通項(xiàng)公式

設(shè) $a_1$ 為平方數(shù)列的首項(xiàng),$a_2$ 為平方數(shù)列的公差,則該平方數(shù)列的逆通項(xiàng)公式為:

$$a_{n+1}=a_1-(n-1)(a_2+a_3+cdots+a_n)$$

其中,$a_{n+1}$ 表示平方數(shù)列的第 $n+1$ 項(xiàng)。

5. 平方數(shù)列的通項(xiàng)公式和逆通項(xiàng)公式的關(guān)系

根據(jù)平方數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式 $a_n=a_1+(2n-1)a_2$,可以推導(dǎo)出平方數(shù)列的逆通項(xiàng)公式 $a_{n+1}=a_1-(n-1)(a_2+a_3+cdots+a_n)$;而根據(jù)平方數(shù)列的求和公式 $S_n=frac{1}{2}(a_1^2+a_2^2+a_3^2+cdots+a_n^2)$,可以推導(dǎo)出平方數(shù)列的通項(xiàng)公式和逆通項(xiàng)公式之間的關(guān)系為:

$$S_{n+1}=frac{1}{2}(a_1^2+a_2^2+a_3^2+cdots+a_n^2)=frac{1}{2}(a_1+a_n)-S_n$$

$$a_{n+1}=a_1-(n-1)(a_2+a_3+cdots+a_n)$$

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